四川高考理科数学试卷真题试卷答案解析【word文字版下载】
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高考理科数学试题及答案
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
1．已知集合A=
22
(,)1xyxy│
，B=
(,)xyyx│，则AB中元素的个数为 A．3
B．2
C．1
D．0
2．设复数z满足(1+i)z=2i，则?z?= A．
1
2
B．
22
C．2 D．2
3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．
根据该折线图，下列结论错误的是 A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份
D．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 4．(x+y)(2x-y)5
的展开式中x3
y3
的系数为
A．-80 B．-40 C．40 D．80
5． 已知双曲线C：22221xyab (a＞0,b＞0)的一条渐近线方程为5
2
yx,且与椭圆
2
22
1123
xy 有公共焦点，则C的方程为 A．
221810xy B．22145xy C．22154xy D．22
143
xy 6．设函数f(x)=cos(x+
3
)，则下列结论错误的是 A．f(x)的一个周期为−2π
B．y=f(x)的图像关于直线x=83
对称 C．f(x+π)的一个零点为x=6
D．f(x)在(
,π)单调递减 7．执行下面的程序框图，为使输出S的值小于91，
则输入的正整数N的最小值为 A．5 B．4
C．3
D．2
8．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为
A．π
B．
3π4
C．
π2
D．
π4
9．等差数列na的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则na前6项的和为 A．-24
B．-3
C．3
D．8
10．已知椭圆C：22
221xyab
，（a>b>0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线
20bxayab相切，则C的离心率为
A．
63
B．
33
C．
23
D．
13
11．已知函数2
1
1()2()xxfxxxae
e有唯一零点，则a=
A．12
B．
1
3
C．
12
D．1
12．在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若AP= AB+AD
，
则+的最大值为 A．3
B．22
C．5
D．2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若x，y满足约束条件y0
200xxyy
，则z34xy的最小值为__________．
14．设等比数列na满足a1 + a2 = ?1, a1 ? a3 = ?3，则a4 = ___________． 15．设函数10()20xxxfxx，，，，
则满足1
()()12fxfx的x的取值范围是_________。
16．a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边
AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角； ②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角； ③直线AB与a所称角的最小值为45°； ④直线AB与a所称角的最小值为60°；
其中正确的是________。（填写所有正确结论的编号）
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考
生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17．（12分）
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+3cosA=0，a=27,b=2． （1）求c；
（2）设D为BC边上一点，且AD AC,求△ABD的面积． 18．（12分）
某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年
六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最高气温
[10，15） [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40）
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。 （1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：
瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？
19．（12分）
如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．
（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；
（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D?AE?C
的余弦值．
20．（12分）
已知抛物线C：y2
=2x，过点（2,0）的直线l交C与A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆． （1）证明：坐标原点O在圆M上；
（2）设圆M过点P（4，-2），求直线l与圆M的方程． 21．（12分）
已知函数()fx =x?1?alnx． （1）若()0fx ，求a的值；
（2）设m为整数，且对于任意正整数n，2111
1+
+1+)222
n()(1)(?m，求m的最小值． （二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为2+,
,xtykt
（t为参数），直线l2的参数方程为
2,,xmmmyk
（为参数）．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C． （1）写出C的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cosθ+sinθ)-2=0，M为l3
与C的交点，求M的极径．
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数f（x）=│x+1│?│x?2│． （1）求不等式f（x）≥1的解集；
（2）若不等式f（x）≥x2
?x +m的解集非空，求m的取值范围
参考答案
一、选择题：
1．B 2．C 3．A 4．C 5．B 6．D 7．D 8．B 9．A 10．A 11．C 12．A
11、【解析】由条件，211()2(ee)xxfxxxa，得：
221(2)1211211(2)(2)2(2)(ee)
4442(ee)2(ee)
xxxxxxfxxxaxxxaxxa
∴(2)()fxfx，即1x为()fx的对称轴， 由题意，()fx有唯一零点， ∴()fx的零点只能为1x， 即21111(1)121(ee)0fa， 解得12
a
． 12、【解析】由题意，画出右图．
设BD与C切于点E，连接CE． 以A为原点，AD为x轴正半轴，
AB为y轴正半轴建立直角坐标系，
则C点坐标为(2,1)． ∵||1CD，||2BC． ∴22125BD． ∵BD切C于点E． ∴CE⊥BD．
∴CE是RtBCD△中斜边BD上的高． 1
2||||
2222||5||||5
5BCDBCCDSECBDBD△
即C的半径为
2
55
． ∵P在C上． ∴P点的轨迹方程为
224(2)(1)5xy
．
设P点坐标00(,)xy，可以设出P点坐标满足的参数方程如下：
00225cos5215sin5xy
而00(,)APxy，(0,1)AB，(2,0)AD
． ∵(0,1)(2,0)(2,)APABAD
∴015
1cos25
x
，0215sin5y． 两式相加得：
2225
15sin1cos55
255
2(
)()sin()55
2sin()3
≤ (其中5sin5，25
cos5
) 当且仅当π
2π2
k
，kZ时，取得最大值3． 二、填空题：
13． 1 14． 8 15．1,4
16．②③
16、【解析】由题意知，abAC、、三条直线两两相互垂直，画出图形如图．
不妨设图中所示正方体边长为1， 故||1AC，2AB，
斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，则A点保持 不变，
B点的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆．
以C为坐标原点，以CD为x轴正方向，CB
为
y轴正方向，
CA
为z轴正方向建立空间直角坐标系．
则(1,0,0)D，(0,0,1)A，
直线a的方向单位向量(0,1,0)a，||1a
．
B点起始坐标为(0,1,0)，
直线b的方向单位向量(1,0,0)b
，||1b．
设B点在运动过程中的坐标(cos,sin,0)B，
其中为BC与CD的夹角，[0,2π)．
那么'AB在运动过程中的向量(cos,sin,1)AB，||2AB
． 设AB与a所成夹角为π
[0,]2
，
则(cos,sin,1)(0,1,0)22
cos|sin|[0,]22aAB
． 故ππ
[,]42，所以③正确，④错误．
设AB与b所成夹角为π
[0,]2
，
cos(cos,sin,1)(1,0,0)
2
|cos|2
ABb
bABbAB
. 当AB与a夹角为60时，即π3，
12sin2cos2cos
2
3
22
． ∵22cossin1， ∴2
|cos|2
． ∴21cos|cos|22
． ∵π
[0,]2
．
∴π
=
3
，此时AB与b夹角为60． ∴②正确，①错误．
三、解答题：
17．（1）由sin3cos0AA得π2sin03A
，
即π
π3
AkkZ，又0,πA， ∴π
π3
A
，得2π3A.
由余弦定理2222cosabcbcA.
又∵1
27,2,cos2
abA代入并整理得
2
125c，故4c.
（2） ∵2,27,4ACBCAB，
由余弦定理22227
cos27
abcCab.
∵ACAD，即ACD△为直角三角形， 则cosACCDC，得7CD. 由勾股定理2
2
3ADCDAC.
又2π3A
，则2πππ
326
DAB
， 1π
sin326
ABDSADAB
△.
18．⑴易知需求量x可取200,300,500 2161
2003035PX 362
3003035PX 25742
5003035
PX
.
则分布列为：
1
52525
⑵ ①当200n≤时：642Ynn，此时max400Y，当200n时取到.
②当200300n≤时：41
22002200255Ynn
880026800555
nnn
此时max520Y，当300n时取到.
③当300500n≤时，
122
20022002300230022555Ynnn
10
320025
n
此时520Y.
④当500n≥时，易知Y一定小于③的情况.
综上所述：当300n时，Y取到最大值为520.
19．
⑴ 取AC中点为O，连接BO，DO；
ABC为等边三角形
∴BOAC ∴ABBC
ABBCBDBD
ABDDBC
ABDCBD. ∴ADCD,即ACD为等腰直角三角形，ADC 为直角又O为底边AC中点 ∴DOAC
令ABa，则ABACBCBDa 易得：22ODa
，32
OBa ∴2
2
2
ODOBBD
由勾股定理的逆定理可得2
DOB
即ODOB
ODAC
ODOBACOBOACABCOBABC
平面平面ODABC平面 又∵ODADC平面 由面面垂直的判定定理 可得ADCABC平面平面 ⑵ 由题意可知VVDACEBACE
即B,D到平面ACE的距离相等 即E为BD中点
D
A
B
CE
O
以O为原点，OA为x轴正方向，OB为y轴正方向，OD
为z轴正方向，设ACa，
建立空间直角坐标系，
则0,0,0O，,0,02aA，0,0,2aD
，30,,02Ba，30,,44aEa 易得：3,,244aaAEa，,0,22aaAD，,0,02aOA
设平面AED的法向量为1n，平面AEC的法向量为2n
，
则110
0AEnADn，解得
13,1,3n 2200
AEnOAn，解得
20,1,3n 若二面角DAEC为，易知为锐角， 则1212
7cos7nnnn
20．⑴ 显然，当直线斜率为0时，直线与抛物线交于一点，不符合题意．
设:2lxmy，11(,)Axy，22(,)Bxy， 联立：222
yx
xmy得2240ymy，
2416m恒大于0，122yym，124yy．
12(2)(2)mymy
21212(1)2()4myymyy 24(1)2(2)4mmm0
∴
，即O在圆M上．
⑵ 若圆M过点P，则
1212(4)(4)(2)(2)0xxyy 1212(2)(2)(2)(2)0mymyyy
21212(1)(22)()80myymyy 化简得2210mm解得1
2
m或1
①当1
2
m时，:240lxy圆心为00(,)Qxy，
120122yyy
，0019
224
xy， 半径2
2
91||42rOQ
则圆229185
:()()4216
Mxy
②当1m时，:20lxy圆心为00(,)Qxy， 12
012
yyy
，0023xy， 半径22||31rOQ 则圆22:(3)(1)10Mxy
21．⑴ ()1lnfxxax，0x
则()1axa
fxxx
，且(1)0f 当0a≤时，0fx，fx在0，上单调增，所以01x时，0fx，不满足题意； 当0a时，
当0xa时，()0fx，则()fx在(0,)a上单调递减； 当xa时，()0fx，则()fx在(,)a上单调递增．
①若1a，()fx在(,1)a上单调递增∴当(,1)xa时()(1)0fxf矛盾 ②若1a，()fx在(1,)a上单调递减∴当(1,)xa时()(1)0fxf矛盾
③若1a，()fx在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增∴()(1)0fxf≥满足题意 综上所述1a．
⑵ 当1a时()1ln0fxxx≥即ln1xx≤
则有ln(1)xx≤当且仅当0x时等号成立 ∴11
ln(1)22
kk
，*kN 一方面：221111111
ln(1)ln(1)...ln(1)...112222222nnn，
即2111
(1)(1)...(1)e222
n．
另一方面：223111111135(1)(1)...(1)(1)(1)(1)222222264
n
