焦作中招数学试卷答案解析及word文字版下载（难度系数点评）
2017年焦作中招数学试卷答案解析及word文字版下载（难度系数点评）
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．计算（?2）+（?3）的结果是（ ）
A．?5B．?1C．1D．5
2．如图所示的几何体是由一个正方体切去一个小正方形成的，从左面看到的平面图形为（ ）
A．B．C．D．
3．移动互联网已经全面进入人们的日常生活，截至1月，全国4G用户总数达到3.86亿，其中3.86亿用科学记数法表示为（ ）
A．3.86×104B．3.86×106C．3.86×108D．0.162×109
4．如图，直线a∥b，一块含60°角的直角三角板ABC（∠A=60°）按如图所示放置．若∠1=55°，则∠2的度数为（ ）
A．105°B．110°C．115°D．120°
5．不等式组的整数解的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．为了解某社区居民的用电情况，随机对该社区10户居民进行了调查，下表是这10户居民4月份用电量的调查结果：
居民（户）1324
月用电量（度/户）40505560
那么关于这10户居民月用电量（单位：度），下列说法错误的是（ ）
A．中位数是55B．众数是60C．方差是29D．平均数是54
7．已知二次函数y=?x2?7x+，若自变量x分别取x1，x2，x3，且0＜x1＜x2＜x3，则对应的函数值y1，y2，y3的大小关系正确的是（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y1＜y2＜y3C．y2＞y3＞y1D．y2＜y3＜y1
8．如图，AC是矩形ABCD的对角线，⊙O是△ABC的内切圆，现将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG．点F，G分别在边AD，BC上，连结OG，DG．若OG⊥DG，且⊙O的半径长为1，则下列结论不成立的是（ ）
A．CD+DF=4B．CD?DF=2?3C．BC+AB=2+4D．BC?AB=2
二、填空题（每小题3分，共21分）
9．计算+（?1）2017= ．
10．如图，根据阴影面积的两种不同的计算方法，验证了初中数学的哪个公式．答： ．
11．有大小、形状、颜色完全相同的5个乒乓球，每个球上分别标有数字1，2，3，4，5中的一个，将这5个球放入不透明的袋中搅匀，如果不放回的从中随机连续抽取两个，则这两个球上的数字之和为偶数的概率是 ．
12．在△ABC中，AB=AC，∠A=52°，分别以A、C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧交于M、N两点，作直线MN交AB于D、交AC于E，则∠DCB的度数为 度．
13．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设点P（1，t）在反比例函数y=的图象上，过点P作直线l与x轴平行，点Q在直线l上，满足QP=OP．若反比例函数y=的图象经过点Q，则k= ．
14．如图，在△ABC中，AB=6，将△ABC绕点B顺时针旋转60°后得到△DBE，点A经过的路径为弧AD，则图中阴影部分的面积是 ．
15．实验室里，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为1：2：1，用两个相同的管子在容器的5cm高度处连通（即管子底端离容器底5cm）．现三个容器中，只有甲中有水，水位高1cm，如图所示．若每分钟同时向乙和丙注入相同量的水，开始注水1分钟，乙的水位上升cm，则开始注入 分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是0.5cm．
三、解答题（共75分）
16．在学习分式计算时有这样一道题：先化简÷，再选取一个你喜欢且合适的数代入求值．张明同学化简过程如下：
解：÷
=÷（ ）
=（ ）
=（ ）
（1）在括号中直接填入每一步的主要依据或知识点；
（2）如果你是张明同学，那么在选取你喜欢且合适的数进行求值时，你不能选取的数有 ．
17．唐诗是我国古代文化中的隗宝，某市教育主管部门为了解本市初中生对唐诗的学习情况，进行了一次唐诗背诵大赛，随机抽取了部分同学的成就（x为整数，总分100分），绘制了如下尚不完整的统计表．
组别成绩分组（单位：分）频数频率
A50≤x＜60400.10
B60≤x＜7060c
C70≤x＜80a0.20
D80≤x＜901600.40
E90≤x≤100600.15
合计b1
根据以上信息解答下列问题：
（1）统计表中a= ，b ，c= ；
（2）扇形统计图中，m的值为 ，“D”所对应的圆心角的度数是 （度）；
（3）若参加本次背诵大赛的同学共有8000人，请你估计成绩在90分及以上的学生大约有多少人？
18．如图，AB是⊙O的直径，割线DA，DB分别交⊙O于点E，C，且AD=AB，∠DAB是锐角，连接EC、OE、OC．
（1）求证：△OBC≌△OEC．
（2）填空：
①若AB=2，则△AOE的最大面积为 ；
②当∠ABD的度数为 时，四边形OBCE是菱形．
19．如图，我南海某海域A处有一艘捕鱼船在作业时突遇特大风浪，船长马上向我国渔政搜救中心发出求救信号，此时一艘渔政船正巡航到捕鱼船正西方向的B处，该渔政船收到渔政求救中心指令后前去救援，但两船之间有大片暗礁，无法直线到达，于是决定马上调整方向，先向北偏东60°方向以每小时30海里的速度航行半小时到达C处，同时捕鱼船低速航行到A点的正北1.5海里D处，渔政船航行到点C处时测得点D在南偏东53°方向上．
（1）求CD两点的距离；
（2）渔政船决定再次调整航向前去救援，若两船航速不变，并且在点E处相会合，求∠ECD的正弦值．
（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）
20．已知关于x的一元二次方程：x2?（m?3）x?m=0．
（1）试判断原方程根的情况；
（2）若抛物线y=x2?（m?3）x?m与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，则A，B两点间的距离是否存在最大或最小值？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由．
（友情提示：AB=|x2?x1|）
21．我市某风景区门票价格如图所示，黄冈赤壁旅游公司有甲、乙两个旅游团队，计划在“五一”小黄金周期间到该景点游玩．两团队游客人数之和为120人，乙团队人数不超过50人，设甲团队人数为x人．如果甲、乙两团队分别购买门票，两团队门票款之和为W元．
（1）求W关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）若甲团队人数不超过100人，请说明甲、乙两团队联合购票比分别购票最多可可节约多少钱；
（3）“五一”小黄金周之后，该风景区对门票价格作了如下调整：人数不超过50人时，门票价格不变；人数超过50人但不超过100人时，每张门票降价a元；人数超过100人时，每张门票降价2a元，在（2）的条件下，若甲、乙两个旅行团队“五一”小黄金周之后去游玩，最多可节约3400元，求a的值．
22．阅读并完成下面的数学探究：
（1）【发现证明】如图（1），点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，小颖把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，从而发现EF=BE+FD，请你利用图（1）证明上述结论．
（2）【类比延伸】如图（2），四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB=AD，∠B+∠D=180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足关系 时，仍有EF=BE+FD．
（3）【结论应用】如图（3），四边形ABCD中，AB=AD=80，∠B=60°，∠ADC=120°，∠BAD=150°，点E、F分别在边BC、CD上，且AE⊥AD，DF=40（），连E、F，求EF的长（结果保留根号）．
23．如图①，在平面直角坐标系中，一块等腰直角三角板ABC的直角顶点A在y轴上，坐标为（0，?1），另一顶点B坐标为（?2，0），已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过B、C两点．现将一把直尺放置在直角坐标系中，使直尺的边A′D′∥y轴且经过点B，直尺沿x轴正方向平移，当A′D′与y轴重合时运动停止．
（1）求点C的坐标及二次函数的关系式；
（2）若运动过程中直尺的边A′D′交边BC于点M，交抛物线于点N，求线段MN长度的最大值；
（3）如图②，设点P为直尺的边A′D′上的任一点，连接PA、PB、PC，Q为BC的中点，试探究：在直尺平移的过程中，当PQ=时，线段PA、PB、PC之间的数量关系．请直接写出结论，并指出相应的点P与抛物线的位置关系．
（说明：点与抛物线的位置关系可分为三类，例如，图②中，点A在抛物线内，点C在抛物线上，点D′在抛物线外．）
河南省中招数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．计算（?2）+（?3）的结果是（ ）
A．?5B．?1C．1D．5
【考点】有理数的加法．
【分析】原式利用同号两数相加的法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式=?（2+3）=?5．
故选：A．
2．如图所示的几何体是由一个正方体切去一个小正方形成的，从左面看到的平面图形为（ ）
A．B．C．D．
【考点】简单组合体的三视图；截一个几何体．
【分析】根据从左面看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从左面看是一个大正方形，大正方形的右上角是一个小正方形，因为是在对面，故小正方形应该是虚线，
故D符合题意，
故选：D．
3．移动互联网已经全面进入人们的日常生活，截至1月，全国4G用户总数达到3.86亿，其中3.86亿用科学记数法表示为（ ）
A．3.86×104B．3.86×106C．3.86×108D．0.162×109
【考点】科学记数法?表示较大的数．
【分析】利用科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：3.86亿用科学记数法表示为：3.86×108．
故选：C．
4．如图，直线a∥b，一块含60°角的直角三角板ABC（∠A=60°）按如图所示放置．若∠1=55°，则∠2的度数为（ ）
A．105°B．110°C．115°D．120°
【考点】平行线的性质．
【分析】如图，首先证明∠AMO=∠2；然后运用对顶角的性质求出∠ANM=55°，借助三角形外角的性质求出∠AMO即可解决问题．
【解答】解：如图，∵直线a∥b，
∴∠AMO=∠2；
∵∠ANM=∠1，而∠1=55°，
∴∠ANM=55°，
∴∠AMO=∠A+∠ANM=60°+55°=115°，
∴∠2=∠AMO=115°．
故选C．
5．不等式组的整数解的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【考点】一元一次不等式组的整数解．
【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后写出所有的整数解即可求出个数．
【解答】解：，
解不等式①得，x＞?，
解不等式②得，x≤1，
所以，不等式组的解集是?＜x≤1，
所以，不等式组的整数解有?1、0、1共3个．
故选C．
6．为了解某社区居民的用电情况，随机对该社区10户居民进行了调查，下表是这10户居民4月份用电量的调查结果：
居民（户）1324
月用电量（度/户）40505560
那么关于这10户居民月用电量（单位：度），下列说法错误的是（ ）
A．中位数是55B．众数是60C．方差是29D．平均数是54
【考点】方差；加权平均数；中位数；众数．
【分析】根据中位数、众数、平均数和方差的概念分别求得这组数据的中位数、众数、平均数和方差，即可判断四个选项的正确与否．
【解答】解：用电量从大到小排列顺序为：60，60，60，60，55，55，50，50，50，40．
A、月用电量的中位数是55度，故A正确；
B、用电量的众数是60度，故B正确；
C、用电量的方差是39度，故C错误；
D、用电量的平均数是54度，故D正确．
故选：C．
7．已知二次函数y=?x2?7x+，若自变量x分别取x1，x2，x3，且0＜x1＜x2＜x3，则对应的函数值y1，y2，y3的大小关系正确的是（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y1＜y2＜y3C．y2＞y3＞y1D．y2＜y3＜y1
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【分析】根据x1、x2、x3与对称轴的大小关系，判断y1、y2、y3的大小关系．
【解答】解：∵二次函数y=?x2?7x+，
∴此函数的对称轴为：x=?=?=?7，
∵0＜x1＜x2＜x3，三点都在对称轴右侧，a＜0，
∴对称轴右侧y随x的增大而减小，
∴y1＞y2＞y3．
故选：A．
8．如图，AC是矩形ABCD的对角线，⊙O是△ABC的内切圆，现将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG．点F，G分别在边AD，BC上，连结OG，DG．若OG⊥DG，且⊙O的半径长为1，则下列结论不成立的是（ ）
A．CD+DF=4B．CD?DF=2?3C．BC+AB=2+4D．BC?AB=2
【考点】三角形的内切圆与内心；翻折变换（折叠问题）．
【分析】设⊙O与BC的切点为M，连接MO并延长MO交AD于点N，证明△OMG≌△GCD，得到OM=GC=1，CD=GM=BC?BM?GC=BC?2．设AB=a，BC=b，AC=c，⊙O的半径为r，⊙O是Rt△ABC的内切圆可得r=（a+b?c），所以c=a+b?2．在Rt△ABC中，利用勾股定理求得（舍去），从而求出a，b的值，所以BC+AB=2+4．再设DF=x，在Rt△ONF中，FN=，OF=x，ON=，由勾股定理可得，解得x=4，从而得到CD?DF=，CD+DF=．即可解答．
【解答】解：如图，
设⊙O与BC的切点为M，连接MO并延长MO交AD于点N，
∵将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG，
∴OG=DG，
∵OG⊥DG，
∴∠MGO+∠DGC=90°，
∵∠MOG+∠MGO=90°，
∴∠MOG=∠DGC，
在△OMG和△GCD中，
∴△OMG≌△GCD，
∴OM=GC=1，CD=GM=BC?BM?GC=BC?2．
∵AB=CD，
∴BC?AB=2．
设AB=a，BC=b，AC=c，⊙O的半径为r，
⊙O是Rt△ABC的内切圆可得r=（a+b?c），
∴c=a+b?2．
在Rt△ABC中，由勾股定理可得a2+b2=（a+b?2）2，
整理得2ab?4a?4b+4=0，
又∵BC?AB=2即b=2+a，代入可得2a（2+a）?4a?4（2+a）+4=0，
解得（舍去），
∴，
∴BC+AB=2+4．
再设DF=x，在Rt△ONF中，FN=，OF=x，ON=，
由勾股定理可得，
解得x=4，
∴CD?DF=，CD+DF=．
综上只有选项A错误，
故选A．
二、填空题（每小题3分，共21分）
9．计算+（?1）2017= 2 ．
【考点】实数的运算．
【分析】原式利用算术平方根定义，以及乘方的意义计算即可得到结果．
【解答】解：原式=3?1=2，
故答案为：2
10．如图，根据阴影面积的两种不同的计算方法，验证了初中数学的哪个公式．答： a2?b2=（a+b）（a?b） ．
【考点】平方差公式的几何背景．
【分析】首先用边长是a的正方形的面积减去边长是b的正方形的面积，求出左边图形的面积是多少；然后根据长方形的面积=长×宽，求出右边阴影部分的面积，判断出验证了初中数学的哪个公式即可．
【解答】解：左边图形的面积是：a2?b2，
右边图形的面积是：（a+b）（a?b），
∴根据阴影面积的两种不同的计算方法，验证了初中数学的平方差公式：a2?b2=（a+b）（a?b）．
故答案为：a2?b2=（a+b）（a?b）．
11．有大小、形状、颜色完全相同的5个乒乓球，每个球上分别标有数字1，2，3，4，5中的一个，将这5个球放入不透明的袋中搅匀，如果不放回的从中随机连续抽取两个，则这两个球上的数字之和为偶数的概率是 ．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可．
【解答】解：列表得：
（1，5）（2，5）（3，5）（4，5）?
（1，4）（2，4）（3，4）?（5，4）
（1，3）（2，3）?（4，3）（5，3）
（1，2）?（3，2）（4，2）（5，2）
?（2，1）（3，1）（4，1）（5，1）
∴一共有20种情况，这两个球上的数字之和为偶数的8种情况，
∴这两个球上的数字之和为偶数的概率是=．
12．在△ABC中，AB=AC，∠A=52°，分别以A、C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧交于M、N两点，作直线MN交AB于D、交AC于E，则∠DCB的度数为 12 度．
【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；作图?基本作图．
【分析】首先根据题意可得MN是AC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得AD=DC，进而得到∠A=∠ACD=52°，然后再根据等腰三角形的性质计算出∠ACB的度数，进而得到答案．
【解答】解：由题意得：MN是AC的垂直平分线，
∵MN是AC的垂直平分线
∴AD=DC，
∴∠A=∠ACD=52°，
∵AB=AC，
∴∠ACB=÷2=64°，
∴∠DCB=64°?52°=12°，
故答案为：12．
13．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设点P（1，t）在反比例函数y=的图象上，过点P作直线l与x轴平行，点Q在直线l上，满足QP=OP．若反比例函数y=的图象经过点Q，则k= 2+2或2?2 ．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；勾股定理．
【分析】把P点代入y=求得P的坐标，进而求得OP的长，即可求得Q的坐标，从而求得k的值．
【解答】解：∵点P（1，t）在反比例函数y=的图象上，
∴t==2，
∴P（1.2），
∴OP==，
∵过点P作直线l与x轴平行，点Q在直线l上，满足QP=OP．
∴Q（1+，2）或（1?，2）
∵反比例函数y=的图象经过点Q，
∴2=或2=，解得k=2+2或2?2
故答案为2+2或2?2．
14．如图，在△ABC中，AB=6，将△ABC绕点B顺时针旋转60°后得到△DBE，点A经过的路径为弧AD，则图中阴影部分的面积是 6π ．
【考点】扇形面积的计算．
【分析】图中阴影部分的面积=扇形ABD的面积+三角形DBE的面积?三角形ABC的面积．又由旋转的性质知△ABC≌△DBE，所以三角形DBE的面积=三角形ABC的面积．
【解答】解：∵根据旋转的性质知∠ABD=60°，△ABC≌△DBE，
∴S△ABC?S△DBE，
∴S阴影=S扇形ABD+S△DBE?S△ABC=S扇形ABD==6π．
故答案是：6π．
15．实验室里，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为1：2：1，用两个相同的管子在容器的5cm高度处连通（即管子底端离容器底5cm）．现三个容器中，只有甲中有水，水位高1cm，如图所示．若每分钟同时向乙和丙注入相同量的水，开始注水1分钟，乙的水位上升cm，则开始注入 ，， 分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是0.5cm．
【考点】一元一次方程的应用．
【分析】由甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为1：2：1，注水1分钟，乙的水位上升cm，得到注水1分钟，丙的水位上升cm，设开始注入t分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是0.5cm，甲与乙的水位高度之差是0.5cm有三种情况：①当乙的水位低于甲的水位时，②当甲的水位低于乙的水位时，甲的水位不变时，③当甲的水位低于乙的水位时，乙的水位到达管子底部，甲的水位上升时，分别列方程求解即可．
【解答】解：∵甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为1：2：1，
∵注水1分钟，乙的水位上升cm，
∴注水1分钟，丙的水位上升cm，
设开始注入t分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是0.5cm，
甲与乙的水位高度之差是0.5cm有三种情况：
①当乙的水位低于甲的水位时，
有1?t=0.5，
解得：t=分钟；
②当甲的水位低于乙的水位时，甲的水位不变时，
∵t?1=0.5，
解得：t=，
∵×=6＞5，
∴此时丙容器已向乙容器溢水，
∵5÷=分钟，=，即经过分钟丙容器的水到达管子底部，乙的水位上升，
∴，解得：t=；
③当甲的水位低于乙的水位时，乙的水位到达管子底部，甲的水位上升时，
∵乙的水位到达管子底部的时间为；分钟，
∴5?1?2×（t?）=0.5，
解得：t=，
综上所述开始注入，，分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是0.5cm．
三、解答题（共75分）
16．在学习分式计算时有这样一道题：先化简÷，再选取一个你喜欢且合适的数代入求值．张明同学化简过程如下：
解：÷
=÷（ 通分、因式分解 ）
=（ 分式的除法法则 ）
=（ 约分 ）
（1）在括号中直接填入每一步的主要依据或知识点；
（2）如果你是张明同学，那么在选取你喜欢且合适的数进行求值时，你不能选取的数有 2，?2，1 ．
【考点】分式的化简求值．
【分析】（1）根据通分、约分、分式的除法法则解答；
（2）根据分式有意义的条件进行解答即可．
【解答】解：（1）原式?÷（通分、因式分解）
=（分式的除法法则）
=（约分）
故答案为：通分，分解因式；分式的除法法则；约分；
（2）∵x?4≠0，x?1≠0，
∴x≠±2，1．
故答案为：2，?2，1．
17．唐诗是我国古代文化中的隗宝，某市教育主管部门为了解本市初中生对唐诗的学习情况，进行了一次唐诗背诵大赛，随机抽取了部分同学的成就（x为整数，总分100分），绘制了如下尚不完整的统计表．
组别成绩分组（单位：分）频数频率
A50≤x＜60400.10
B60≤x＜7060c
C70≤x＜80a0.20
D80≤x＜901600.40
E90≤x≤100600.15
合计b1
根据以上信息解答下列问题：
（1）统计表中a= 80 ，b =400 ，c= 0.15 ；
（2）扇形统计图中，m的值为 20 ，“D”所对应的圆心角的度数是 144 （度）；
（3）若参加本次背诵大赛的同学共有8000人，请你估计成绩在90分及以上的学生大约有多少人？
【考点】扇形统计图；用样本估计总体；频数（率）分布表．
【分析】（1）首先根据A组的频数和频率确定b值，然后根据频数÷样本容量=频率求得a和c的值即可；
（2）用整体1减去其他小组的百分比即可求得m的值；用周角乘以D所占的百分比即可求得其圆心角的度数；
（3）用学生总人数乘以90分以上的频率即可求得人数．
【解答】解：（1）∵观察频数统计图知：A组的频数为40，频率为0.1，
∴b=40÷0.1=400，
∴a=400×0.20=80，c=60÷400=0.15；
故答案为：80，400，0.15；
（2）∵m%=1?10%?15%?40%?15%=20%，
∴m=20，
D所在的扇形的圆心角为360×40%=144°，
故答案为：20，144；
（3）8000×15%=1200，
所以成绩在90分及以上的学生大约有1200人．
18．如图，AB是⊙O的直径，割线DA，DB分别交⊙O于点E，C，且AD=AB，∠DAB是锐角，连接EC、OE、OC．
（1）求证：△OBC≌△OEC．
（2）填空：
①若AB=2，则△AOE的最大面积为 ；
②当∠ABD的度数为 60° 时，四边形OBCE是菱形．
【考点】圆的综合题．
【分析】（1）利用垂直平分线，判断出∠BAC=∠DAC，得出EC=BC，用SSS判断出结论；
（2）先判断出三角形AOE面积最大，只有点E到直径AB的距离最大，即是圆的半径即可；
（3）由菱形判断出△AOC是等边三角形即可．
【解答】解：（1）连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴AC⊥BD，
∵AD=AB，
∴∠BAC=∠DAC，
∴，
∴BC=EC，
在△OBC和△OEC中，
∴△OBC≌△OEC，
（2）∵AB是⊙O的直径，且AB=2，
∴OA=1，
设△AOE的边OA上的高为h，
∴S△AOE=OA×h=×1×h=h，
∴要使S△AOE最大，只有h最大，
∵点E在⊙O上，
∴h最大是半径，
即h最大=1
∴S△AOE最大=，
故答案为：，
（3）由（1）知，BC=EC，OC=OB，
∵四边形OBCE是菱形．
∴BC=OB=OC，
∴∠ABD=60°，
故答案为60°．
19．如图，我南海某海域A处有一艘捕鱼船在作业时突遇特大风浪，船长马上向我国渔政搜救中心发出求救信号，此时一艘渔政船正巡航到捕鱼船正西方向的B处，该渔政船收到渔政求救中心指令后前去救援，但两船之间有大片暗礁，无法直线到达，于是决定马上调整方向，先向北偏东60°方向以每小时30海里的速度航行半小时到达C处，同时捕鱼船低速航行到A点的正北1.5海里D处，渔政船航行到点C处时测得点D在南偏东53°方向上．
（1）求CD两点的距离；
（2）渔政船决定再次调整航向前去救援，若两船航速不变，并且在点E处相会合，求∠ECD的正弦值．
（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）
【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．
【分析】（1）过点C、D分别作CG⊥AB，DF⊥CG，垂足分别为G，F，根据直角三角形的性质得出CG，再根据三角函数的定义即可得出CD的长；
（2）如图，设渔政船调整方向后t小时能与捕渔船相会合，由题意知CE=30t，DE=1.5×2×t=3t，∠EDC=53°，过点E作EH⊥CD于点H，根据三角函数表示出EH，在Rt△EHC中，根据正弦的定义求值即可．
【解答】解：（1）过点C、D分别作CG⊥AB，DF⊥CG，垂足分别为G，F，
∵在Rt△CGB中，∠CBG=90°?60°=30°，
∴CG=BC=×（30×）=7.5，
∵∠DAG=90°，
∴四边形ADFG是矩形，
∴GF=AD=1.5，
∴CF=CG?GF=7.5?1.5=6，
在Rt△CDF中，∠CFD=90°，
∵∠DCF=53°，
∴COS∠DCF=，
∴CD===10（海里）．
答：CD两点的距离是10；
（2）如图，设渔政船调整方向后t小时能与捕渔船相会合，
由题意知CE=30t，DE=1.5×2×t=3t，∠EDC=53°，
过点E作EH⊥CD于点H，则∠EHD=∠CHE=90°，
∴sin∠EDH=，
∴EH=EDsin53°=3t×=t，
∴在Rt△EHC中，sin∠ECD===．
答：sin∠ECD=．
20．已知关于x的一元二次方程：x2?（m?3）x?m=0．
（1）试判断原方程根的情况；
（2）若抛物线y=x2?（m?3）x?m与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，则A，B两点间的距离是否存在最大或最小值？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由．
（友情提示：AB=|x2?x1|）
【考点】抛物线与x轴的交点；根的判别式．
【分析】（1）根据根的判别式，可得答案；
（2）根据根与系数的关系，可得A、B间的距离，根据二次函数的性质，可得答案．
【解答】解：（1）△=[?（m?3）]2?4（?m）=m2?2m+9=（m?1）2+8，
∵（m?1）2≥0，
∴△=（m?1）2+8＞0，
∴原方程有两个不等实数根；
（2）存在，
由题意知x1，x2是原方程的两根，
∴x1+x2=m?3，x1•x2=?m．
∵AB=|x1?x2|，
∴AB2=（x1?x2）2=（x1+x2）2?4x1x2
=（m?3）2?4（?m）=（m?1）2+8，
∴当m=1时，AB2有最小值8，
∴AB有最小值，即AB==2
21．我市某风景区门票价格如图所示，黄冈赤壁旅游公司有甲、乙两个旅游团队，计划在“五一”小黄金周期间到该景点游玩．两团队游客人数之和为120人，乙团队人数不超过50人，设甲团队人数为x人．如果甲、乙两团队分别购买门票，两团队门票款之和为W元．
（1）求W关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）若甲团队人数不超过100人，请说明甲、乙两团队联合购票比分别购票最多可可节约多少钱；
（3）“五一”小黄金周之后，该风景区对门票价格作了如下调整：人数不超过50人时，门票价格不变；人数超过50人但不超过100人时，每张门票降价a元；人数超过100人时，每张门票降价2a元，在（2）的条件下，若甲、乙两个旅行团队“五一”小黄金周之后去游玩，最多可节约3400元，求a的值．
【考点】一次函数的应用；一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用．
【分析】（1）根据甲团队人数为x人，乙团队人数不超过50人，得到x≥70，分两种情况：①当70≤x≤100时，W=70x+80=?10x+9600，②当100＜x＜120时，W=60x+80=?20x+9600，即可解答；
（2）根据甲团队人数不超过100人，所以x≤100，由W=?10x+9600，根据70≤x≤100，利用一次函数的性质，当x=70时，W最大=8900（元），两团联合购票需120×60=7200（元），即可解答；
（3）根据每张门票降价a元，可得W=（70?a）x+80=?（a+10）x+9600，利用一次函数的性质，x=70时，W最大=?70a+8900（元），而两团联合购票需120（60?2a）=7200?240a（元），所以?70a+8900?=3400，即可解答．
【解答】解：（1）∵甲团队人数为x人，乙团队人数不超过50人，
∴120?x≤50，
∴x≥70，
①当70≤x≤100时，W=70x+80=?10x+9600，
②当100＜x＜120时，W=60x+80=?20x+9600，
综上所述，W=
（2）∵甲团队人数不超过100人，
∴x≤100，
∴W=?10x+9600，
∵70≤x≤100，
∴x=70时，W最大=8900（元），
两团联合购票需120×60=7200（元），
∴最多可节约8900?7200=1700（元）．
（3）∵x≤100，
∴W=（70?a）x+80=?（a+10）x+9600，
∴x=70时，W最大=?70a+8900（元），
两团联合购票需120（60?2a）=7200?240a（元），
∵?70a+8900?=3400，
解得：a=10．
22．阅读并完成下面的数学探究：
（1）【发现证明】如图（1），点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，小颖把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，从而发现EF=BE+FD，请你利用图（1）证明上述结论．
（2）【类比延伸】如图（2），四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB=AD，∠B+∠D=180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足关系 ∠EAF=∠BAD 时，仍有EF=BE+FD．
（3）【结论应用】如图（3），四边形ABCD中，AB=AD=80，∠B=60°，∠ADC=120°，∠BAD=150°，点E、F分别在边BC、CD上，且AE⊥AD，DF=40（），连E、F，求EF的长（结果保留根号）．
【考点】四边形综合题．
【分析】（1）根据旋转变换的性质和正方形的性质证明△EAF≌△GAF，得到EF=FG，证明结论；
（2）把△ABE绕点A逆时针旋转至△ADH，使AB与AD重合，证明△EAF≌△HAF，证明即可；
（3）延长BA交CD的延长线于P，连接AF，根据四边形内角和定理求出∠C的度数，得到∠P=90°，求出PD、PA，证明∠EAF=∠BAD，又（2）的结论得到答案．
【解答】（1）证明：由旋转的性质可知，△ABE≌△ADG，
∴BE=DG，AE=AG，∠BAE=∠DAG，∠ADG=∠ABE=90°，
∴G、D、F在同一条直线上，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，
∴∠EAG=90°，又∠EAF=45°，
∴∠FAG=45°，
在△EAF和△GAF中，
，
∴△EAF≌△GAF，
∴EF=FG，
∴EF=BE+FD；
（2）当∠EAF=∠BAD时，仍有EF=BE+FD．
证明：如图（2），把△ABE绕点A逆时针旋转至△ADH，使AB与AD重合，
则BE=DH，∠BAE=∠DAH，∠ADH=∠B，又∠B+∠D=180°，
∴∠ADH+∠D=180°，即F、D、H在同一条直线上，
当∠EAF=∠BAD时，∠EAF=∠HAF，
由（1）得，△EAF≌△HAF，
则EF=FH，即EF=BE+FD，
故答案为：∠EAF=∠BAD；
（3）如图（3），延长BA交CD的延长线于P，连接AF，
∵∠B=60°，∠ADC=120°，∠BAD=150°，
∴∠C=30°，
∴∠P=90°，又∠ADC=120°，
∴∠ADP=60°，
∴PD=AD×cos∠ADP=40，AP=AD×sin∠ADP=40，
∴PF=PD+DF=40，
∴PA=PF，
∴∠PAF=45°，又∠PAD=30°，
∴∠DAF=15°，
∴∠EAF=75°，∠BAE=60°，
∴∠EAF=∠BAD，
由（2）得，EF=BE+FD，又BE=BA=80，
∴EF=BE+FD=40（）．
23．如图①，在平面直角坐标系中，一块等腰直角三角板ABC的直角顶点A在y轴上，坐标为（0，?1），另一顶点B坐标为（?2，0），已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过B、C两点．现将一把直尺放置在直角坐标系中，使直尺的边A′D′∥y轴且经过点B，直尺沿x轴正方向平移，当A′D′与y轴重合时运动停止．
（1）求点C的坐标及二次函数的关系式；
（2）若运动过程中直尺的边A′D′交边BC于点M，交抛物线于点N，求线段MN长度的最大值；
（3）如图②，设点P为直尺的边A′D′上的任一点，连接PA、PB、PC，Q为BC的中点，试探究：在直尺平移的过程中，当PQ=时，线段PA、PB、PC之间的数量关系．请直接写出结论，并指出相应的点P与抛物线的位置关系．
（说明：点与抛物线的位置关系可分为三类，例如，图②中，点A在抛物线内，点C在抛物线上，点D′在抛物线外．）
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）求C点坐标，考虑作x，y轴垂线，表示横纵坐标，易得△CDA≌△AOB，所以C点坐标易知．进而抛物线解析式易得．
（2）横坐标相同的两点距离，可以用这两点的纵坐标作差，因为两点分别在直线BC与抛物线上，故可以利用解析式，设横坐标为x，表示两个纵坐标．作差记得关于x的二次函数，利用最值性质，结果易求．
（3）计算易得，BC=，因为Q为BC的中点，PQ=恰为半径，则易作圆，P点必在圆上．分三种情况进行解答．
【解答】解：（1）如图1，过点C作CD⊥y轴于D，此时△CDA≌△AOB，
∵△CDA≌△AOB，
∴AD=BO=2，CD=AO=1，
∴OD=OA+AD=3，
∴C（?1，?3）．
将B（?2，0），C（?1，?3）代入抛物线y=x2+bx+c，
解得b=，c=?3，
∴抛物线的解析式为y=x2+x?3．
（2）设lBC：y=kx+b，
∵B（?2，0），C（?1，?3），
∴，
解得，
∴lBC：y=?3x?6，
设M（xM，?3xM?6），N（xN，xN2+xN?3），
∵xM=xN（记为x），yM≥yN，
∴线段MN长度=?3x?6?（x2+x?3）=?（x+）2+，（?2≤x≤?1），
∴当x=?时，线段MN长度为最大值．
（3）答：P在抛物线外时，BP+CP=AP；P在抛物线上时，BP+CP=AP；P在抛物线内，PC?PB=PA．
分析如下：
如图2，以Q点为圆心，为半径作⊙Q，
∵OB=2，OA=1，
∴AC=AB==，
∴BC==，
∴BQ=CQ=，
∵∠BAC=90°，
∴点B、A、C都在⊙Q上．
①P在抛物线外，
如图3，圆Q与BD′的交点即为点P，连接PB，PC，PA，延长PC交y轴于点D
∵BC为直径，
∴∠BPC=90°
∵BD′与y轴平行
∴∠ADC=90°，且D点为抛物线与y轴交点
∴PD∥x轴
易得PC=1，PB=3，PA=2
∴BP+CP=AP．
②P在抛物线上，此时，P只能为B点或者C点，
∵AC=AB=，
∴AP=，
∵BP+CP=BC=，
∴BP+CP=AP．
③P在抛物线内，有两种情况，如图4，5，
如图4，在PC上取BP=PT，
∵BC为直径，
∴∠BPC=90°
∴△BPT为等腰直角三角形
∴∠PBT=45°=∠1+∠2
∵∠ABC=∠3+∠2=45°
∴∠1=∠3
∵∠BAP=∠BCP（同弧BP）
∴△BPA∽△BTC
∴
∵PC=PT+CT
∴PC=PT+PA=PB+PA
∴PC?PB=PA
同理，如图5，也可得PB?PC=PA．
